Apakah matematika?
Pengertian
matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai
bilangan yang bisa langsung diperoleh dari
bilangan-
bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.
Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan
Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.
Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut
matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.
Apakah matematika ilmu yang ‘sulit’?
Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (
model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.
Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (
model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.
Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan
aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.
Matematika sebagai bahasa
Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak
bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar
Teori Model (lihat
model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara
universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.
Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan “Telu”, sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan “Tiga”. Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.
Dalam pandangan
formalis, matematika adalah penelaahan
struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan
logika simbolik dan
notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam
filosofi matematika.
Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari
ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di
fisika, tetapi
matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk
seni daripada sebagai
ilmu praktis atau terapan.
Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar
pola struktur,
perubahan,
ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut
model matematika dari fenomena.
Ikhtisar
Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(
máthema) dalam
bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (
mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.
Pelajaran tentang struktur dimulai dengan
bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah
bilangan natural dan
bilangan bulat dan
operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam
aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam
teori bilangan.
Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam
aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang
ring dan
field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep
vektor, digeneralisasi menjadi
vektor ruang dipelajari dalam
aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.
Ilmu tentang ruang berawal dari
geometri, yaitu
geometri Euclid dan
trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke
geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori
relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang
konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam
teori Galois.
Bidang ilmu modern tentang
geometri diferensial dan
geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi,
buntelan,
derivatif,
smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan
persamaan polinomial.
Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur.
Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep
kontinuitas.
Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah
fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari
persamaan differensial.
Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah
bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai
analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan
bilangan kompleks yang dipelajari dalam
analisis kompleks.
Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk
mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.
Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan
sistem dinamis dan
teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.
Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang
teori pasti,
logika matematika dan
teori model dikembangkan.
Saat pertama kali
komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang
teori komputabilitas,
teori kompleksitas komputasional,
teori informasi dan
teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam
ilmu komputer teoritis.
Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.
Bidang-bidang penting dalam
matematika terapan ialah
statistik, yang menggunakan
teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu.
Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.
Topik dalam matematika
daftar bahasan dalam matematika dan subklasifikasinya dapat dilihat dalam daftar alfabet.
Daftar topik dan sub klasifikasi dibawah ini merupakan gambaran matematika secara umum.
Pada dasarnya, topik dan ide ini menyajikan ukuran jelas dari bilangan atau kumpulan, atau jalan untuk menemukan semacam ukuran.
Bilangan –
Bilangan dasar –
Pi –
Bilangan bulat –
Bilangan rasional –
Bilangan riil –
Bilangan kompleks –
Bilangan hiperkompleks –
Quaternion –
Oktonion –
Sedenion –
Bilangan hiperriil –
Bilangan surreal –
Bilangan urutan –
Bilangan pokok –
Bilangan P-adic –
Rangkaian bilangan bulat –
Konstanta matematika –
Nama bilangan –
Ketakterbatasan –
Dasar –
Sudut Jarum Jam
Topik-topik berikut memberi cara untuk mengukur perubahan dalam fungsi matematika, dan perubahan antar angka.
Aritmetika –
Kalkulus –
Kalkulus vektor –
Analisis –
Persamaan diferensial –
Sistem dinamis dan teori chaos –
Daftar fungsi
Cabang berikut mengukur besar dan simetri angka, dan berbagai konstruk.
Aljabar abstrak –
Teori bilangan –
Geometri aljabar –
Teori grup –
Monoid –
Analisis –
Topologi –
Aljabar linear –
Teori grafik –
Aljabar universal –
Teori kategori –
Teori urutan
Topik-topik berikut mengukur pendekatan visual kepada matematika dari topik lainnya.
Topologi –
Geometri –
Trigonometri –
Geometri Aljabar –
Geometri turunan –
Topologi turunan –
Topologi aljabar –
Algebra linear –
Geometri fraktal
Topik dalam
matematika diskrit berhadapan dengan cabang matematika dengan objek yang dapat mengambil harga tertentu dan terpisah.
Kombinasi –
Teori himpunan naif –
Kemungkinan –
Teori komputasi –
Matematika terbatas –
Kriptografi –
Teori Gambar –
Teori permainan
Bidang-bidang dalam
matematika terapan menggunakan pengetahuan matematika untuk mengatasi masalah dunia nyata.
Mekanika –
Analisa Numerik –
Optimisasi –
Probabilitas –
Statistik –
Matematika Finansial (keuangan) –
Metoda Numerik
- Konjektur dan teori-teori yang terkenal
Teorema-teorema itu telah menarik matematikawan dan dan yang bukan matematikawan.
Teori terakhir Fermat –
Konjektur Goldbach –
Konjektur Utama Kembar –
Teorema ketidaklengkapan Gödel –
Konjektur Poincaré –
Argumen diagonal Cantor –
Teorema empat warna –
Lema Zorn –
Identitas Euler –
Konjektur Scholz –
Tesis Church-Turing
- Teori dan konjektur penting
Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.
Hipotesis Riemann –
Hipotesis Continuum –
P=NP –
Teori Pythagorean –
Central limit theorem –
Teordi dasar kalkulus –
Teori dasar aljabar –
Teori dasar aritmetik –
Teori dasar geometri proyektif –
klasifikasi teorema permukaan –
Teori Gauss-Bonnet
Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subyek mereka.
Filsafat matematika –
Intuisionisme matematika –
Konstruktivisme matematika –
Dasar matematika –
Teori pasti –
Logika simbol –
Teori model –
Teori kategori –
Logika –
Matematika kebalikan –
Daftar simbol matematika
- Sejarah dunia para matematikawan
Sejarah matematika –
Garis waktu matematika –
Matematikawan –
Medali bidang –
Hadiah Abel –
Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay) –
International Mathematical Union –
Pertandingan matematika –
Pemikiran lateral –
Kemampuan matematika dan masalah gender
- Matematika dan bidang lainnya
Matematika dan arsitektur –
Matematika dan pendidikan –
Matematika skala musik
- Kejadian Kebetulan Matematika
Daftar Kejadian Kebetulan Matematika
Dulu:
Sekarang:
